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A vueltas con Euromillones

15 marzo, 2013

Cada semana millones de ciudadanos europeos gastan millones de euros en participar en el sorteo conocido como “Euromillones” bajo el reclamo de las mareantes decenas de millones que puede llevarse la persona que acierte la combinación ganadora. Sin embargo, en medio de esta borrachera de millones tan atractiva nos olvidamos de que el dato que debería hacer que nos lo pensáramos mejor también se cuenta en millones: son las una entre ciento dieciséis millones quinientas treinta y un mil ochocientas probabilidades que tenemos de llevarnos el primer premio, apenas un 0,00000000858% (pueden ver cómo se calcula en esta entrada de Gaussianos).

Sin embargo casi todo el mundo sigue participando en este y otros sorteos, incluso yo mismo lo hago de vez en cuando (digo yo que habiendo médicos que fuman por qué no va a haber matemáticos que jueguen a la lotería). Pero, ¿por qué? Seguramente habrá muchos argumentos de tipo cultural, psicológico o social que podríamos esgrimir para tratar de explicarlo, sin embargo hay uno de carácter probabilístico que me llama especialmente la atención.

Estoy seguro que más de una vez han jugado a este o a cualquier otro sorteo y al revisar la combinación ganadora han dicho “vaya, tengo el 10, el 13 y el 33 y han salido el 11, el 13 y el 32, ¡por qué poco!”. Y también me atrevería a decir que a continuación les ha invadido una sensación de “a la próxima acierto” como si el número que fuera a salir dependiese de su puntería. Claro que la mayoría de nosotros comprendemos que rellenar un boleto de Euromillones tiene poco que ver con encestar un triple, pero esa experiencia queda ahí grabada y en mayor o menor medida nos anima a seguir jugando. ¿Ocurre esto por azar? Les explicaré por qué pienso que no.

Para participar en Euromillones hay que escoger cinco números entre el uno y el cincuenta, más dos números adicionales llamados “estrellas” entre el uno el once. El sorteo se realiza sacando consecutivamente cinco bolas numeradas de un bombo de cincuenta y otras dos bolas adicionales de un segundo bombo con once. Para no extenderme en cálculos farragosos simplifiquemos la situación suponiendo que escogemos una combinación de cinco números determinada, por ejemplo 6, 16, 34, 37 y 45, y que sólo utilizamos el primer bombo. La pregunta sería ¿cuál es la probabilidad de que alguna de las bolas sea igual, inmediatamente anterior o inmediatamente posterior a alguno de nuestros números?

Veámoslo. Tenemos

\binom{50}{5}=\frac{50!}{5!\cdot \left ( 50-5 \right )!}=2.118.760

formas de escoger, sin reemplazamiento y sin importar el orden, 5 bolas de entre 50. De estas combinaciones las que nos sirven son las que tienen alguno de los números siguientes: 5, 6, 7, 15, 16, 17, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45 y 46. Bastante más sencillo que calcular cuántas son las combinaciones que nos interesan es fijarnos en el caso contrario, es decir, cuántas hay en las que no aparece ninguno de los números anteriores. Como hay 15 números que no pueden aparecer resulta que cualquier combinación de 5 bolas de entre las otras 35 no tendrá ningún número en común con esta lista, por lo que tendremos

\binom{35}{5}= \frac{35!}{5!\cdot \left ( 35-5 \right )!}=324.632

combinaciones que cumplen esta condición. Como el suceso “no sale ningún número de la lista” es complementario del suceso “sale algún número de la lista”, que es el que nos interesa, la probabilidad buscada es

1-\frac{324632}{2118760}=0,8467

o del 84,67%.

Para realizar los cálculos con toda precisión, en lugar de partir de una combinación determinada deberíamos considerar todas las elecciones posibles, teniendo además en cuenta la posibilidad de que la combinación que escojamos incluya el 1 o el 50 (en cuyo caso habría un número anterior y otro posterior menos entre los resultados favorables) así como los casos en los que escogemos dos o más números que disten entre sí menos de dos unidades. Sin embargo parece que la aproximación que hemos realizado es suficiente como para pensar que, gracias al diseño del juego, la posibilidad de sentirnos muy cerca de un premio es bastante alta. ¿Casualidad? No lo creo.

Si incluimos en nuestras cuentas los dos números “estrella” adicionales resulta que, escogiendo por ejemplo el 3 y el 10, la probabilidad de que alguna de las dos bolas extraídas del segundo bombo estén entre los números 2, 3, 4, 9, 10 y 11 es del 81,81% (les invito a comprobarlo). Este dato parece reforzar mi teoría, pero si calculamos la probabilidad de que los siete números agraciados estén entre los que nos harían exclamar “¡huy!” resulta que esta es

 0,8467\cdot 0,8181=0,6926

o del 69,26%, que ya no parece tan alta como las anteriores. ¿Significa esto que estoy equivocado? Quizá, pero piénsenlo un momento, habiendo estado cerca de acertar cinco números de entre cincuenta, ¿quién se fijaría en las estrellas?

Para saber maś:

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  1. 15 marzo, 2013 en 8:33

    Bueno, hay una cosa que es indiscutible. La probabilidad de que te toque es infinitesimalmente baja. Pero es la misma que tenía al que le ha tocado 😀

  2. 15 marzo, 2013 en 8:47

    Es curioso como funciona la mente. La probabilidad de que toque la lotería es bajísima, pero la gente sigue jugando porque “esta vez igual me toca”. La probabilidad de tener un accidente grave también es baja (aunque mayor que la lotería), sin embargo hay gente que hace verdaderas barbaridares diciendo “a mí no me va a tocar”. Y en ambos casos a alguien le toca.

  3. Masklin
    15 marzo, 2013 en 8:55

    Bueno, pienso que mucha gente juega porque hay más probabilidades de que le toque que de hacerse millonario de la noche a la mañana de alguna otra manera.

    ¿Y que probabilidad hay de que te toque la loteria sin jugar? Pues tengo un amigo al que le pasó. Se encontró un boleto en la calle y el sorteo era esa noche. Le tocaron 600 euros. Yo lo hubiera devuelto y hubiera tenido más probabilidades de ganar una sonrisa, un agradecimiento, o quien sabe, incluso un café o una amistad.

  4. 15 marzo, 2013 en 9:35

    Manuel :

    Es curioso como funciona la mente. La probabilidad de que toque la lotería es bajísima, pero la gente sigue jugando porque “esta vez igual me toca”. La probabilidad de tener un accidente grave también es baja (aunque mayor que la lotería), sin embargo hay gente que hace verdaderas barbaridares diciendo “a mí no me va a tocar”. Y en ambos casos a alguien le toca.

    Creo que has dado en el clavo, por alguna razón tendemos a identificarnos con las situaciones positivas por muy improbables que sean y sin embargo nos sentimos a salvo de situaciones muy negativas aunque seas mucho más comunes. Un ejemplo extremo está en el típico testimonio de soldado que ha luchado en una guerra y dice “nos sentíamos invencibles, todos creíamos que a nosotros no nos iba a pasar nada”… y normalmente el que lo cuenta suele ser uno de los pocos que sobrevivió.

    En cualquier caso me parece que este comportamiento es muy lógico: si estuviésemos continuamente preocupados por la cantidad de cosas que nos pueden pasar nos habríamos quedado en los árboles.

  5. 15 marzo, 2013 en 9:44

    Y no sería sistema para los estados bastante seguro para hacer pagos de dudosa ética. Imaginemos que un estado tiene que hacer un pago por servicio de dudosa catadura moral que no debe figurar en ninguna partida presipuestaria.
    Con el nivel de control informático que llevan las loterías no sería muy difícil sacar un voleto premiado con un segundo o tercer premio unos minutos depués del sorteo que figure en la ciudad de Europa que más te guste o más rabia te de.
    ¿No sería una forma cojonuda e indemostrable de hacer el pago?
    Está claro que la loteria (aún) no me ha tocado y me da rabia.
    ¿Demasiado tiempo leyendo chorradas conspiranoicas?

  6. 15 marzo, 2013 en 9:58

    En España no es tan complicado: coges el dinero, te lo quedas y si te pillan la lías parda con recursos, demandas y con la ayuda de la fiscalía y al final el proceso se anula por defectos de forma. Y si no, te indultan y te dan un carguito en Telefónica.

    Además, ¿quién dijo que era tan difícil que a uno le tocara la lotería?

    http://www.levante-emv.com/comunitat-valenciana/2012/02/19/carlos-fabra-tendra-aclarar-juicio-siete-veces-le-tocado-loteria/882672.html

  7. 15 marzo, 2013 en 10:16

    y normalmente el que lo cuenta suele ser uno de los pocos que sobrevivió.

    Hombre, si lo contara uno que no sobrevivio si que seria digno de estudio. :p

  8. Francesc
    15 marzo, 2013 en 10:36

    Bueno Newzealander, que en españa se usa la lotería para lavar diner negro -cómo el caso de Fabra que recuerda Oribe- es bien conocido, sin ni siquiera tener que manipular el sorteo.
    Javi, has calculado la probabilidad de que 1 número de los 5 que salen esté cerca de uno de los 5 números que tú has elegido. Tal como empiezas el artículo pensaba que ibas a calcular la de que toda la combinación, es decir, cada uno de los 5 números, sea igual o muy parecido al de la ganadora. Si no la he cagado en los cálculos, esta última es “sólo” de 1,15 entre 10.000

  9. 15 marzo, 2013 en 10:43

    Yo soy plenamente consciente de las poquisimas probabilidades que tengo jugando al Euromillones, pero si el bote pasa de 100 kilos, juego.
    Y tambien me pasa lo de “huy, casi acierto!” a pesar de que se perfectamente que no es así.
    Pero supongo que todos llevamos un pequeño animalillo anumerico y magufín dentro, que en situaciones puramente instintivas afloran.
    Yo que se, si hasta alguna vez me sorprendí a mi mismo gritandole barbaridades al árbitro estando en el estadio….

  10. 15 marzo, 2013 en 10:45

    Javi :

    y normalmente el que lo cuenta suele ser uno de los pocos que sobrevivió.

    Hombre, si lo contara uno que no sobrevivio si que seria digno de estudio. :p

    Touché 😉

  11. 15 marzo, 2013 en 11:09

    Francesc :

    Bueno Newzealander, que en españa se usa la lotería para lavar diner negro -cómo el caso de Fabra que recuerda Oribe- es bien conocido, sin ni siquiera tener que manipular el sorteo.
    Javi, has calculado la probabilidad de que 1 número de los 5 que salen esté cerca de uno de los 5 números que tú has elegido. Tal como empiezas el artículo pensaba que ibas a calcular la de que toda la combinación, es decir, cada uno de los 5 números, sea igual o muy parecido al de la ganadora. Si no la he cagado en los cálculos, esta última es “sólo” de 1,15 entre 10.000

    Reconozco que no he hecho las cuentas completas porque no he tenido tiempo, aunque en cualquier caso decidí hacerlas sobre un caso concreto por no complicar demasiado la entrada.

    De todas formas el ejemplo que pongo no está escogido al tuntún: no tiene ni el 1 ni el 50 y no hay números que disten entre sí menos de dos unidades, este es el caso más sencillo y probablemente de los más frecuentes, ya que no suele ser común que la gente escoja “1,2,3,4,5” o cosas así (a pesar de que tiene la misma probabilidad de salir que cualquier otra combinación). Si se busca provocar un efecto psicológico que anime a seguir jugando no es necesario tratar de llegar a todos los jugadores (se pude comprender porqué en esta entrada de J.M. https://lacienciaysusdemonios.com/2013/03/06/no-creas-ni-lo-que-veas/ y esta mía https://lacienciaysusdemonios.com/2010/11/08/magnetoterapia-como-conseguir-que-a-usted-le-funcione/ ) por lo que creo que mi aproximación puede darse por válida.

    En cuanto al cálculo, me gustaría saber cómo lo has hecho, aunque es de esperar que la probabilidad calculada con precisión sea más pequeña que la del caso de la entrada.

    Te comento un esbozo de cómo creo que debería de hacerse.

    Primero calcularía la probabilidad del suceso que describo en la entrada en los casos:

    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de dos unidades.
    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de dos unidades salvo una pareja separada una unidad.
    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de dos unidades salvo dos parejas separadas una unidad.

    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de una unidad.
    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de una unidad salvo una pareja consecutiva.
    – No se escogen el 1 ni el 50 ni números separados menos de una unidad salvo dos parejas consecutivas.

    – Se escoge el 50, no se escoge el 1 ni números separados menos de dos unidades.
    – Se escoge el 50, no se escoge el 1 ni números separados menos de dos unidades salvo una pareja separada una unidad.
    – Se escoge el 50, no se escoge el 1 ni ni números separados menos de dos unidades salvo dos parejas separadas una unidad.

    – Se escoge el 1, no se escoge el 50 ni números separados menos de una unidad.
    – Se escoge el 1, no se escoge el 50 ni números separados menos de una unidad salvo una pareja consecutiva.
    – Se escoge el 1, no se escoge el 50 ni ni números separados menos de una unidad salvo dos parejas consecutivas.

    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de dos unidades.
    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de dos unidades salvo una pareja separada una unidad.
    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de dos unidades salvo dos parejas separadas una unidad.

    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de una unidad.
    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de una unidad salvo una pareja consecutiva.
    – Se escogen el 50, el 1 y números separados más de una unidad salvo dos parejas consecutivas.

    Después habría que calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de estos casos y aplicando el Teorema de Probabilidades Totales obtendríamos el resultado.

    Reconozco que no sé si me falta algún caso, pero nos podemos hacer una idea de la dificultad del problema (a no ser que haya una forma más sencilla de hacerlo en la que yo no haya caído).

    Si alguien se atreve a calcularlo, que lo haga a ver qué sale.

  12. LGM
    15 marzo, 2013 en 11:32

    A veces juego, pero nunca me engaño con el “¡Por qué poco!”. La verdad es que plantearselo como un sorteo de Navidad pero con un bombo 1160 veces más grande… como que quita las ganas. Pero supongo, como dicen por ahí arriba, que es más facil que toque, que hacerse millonario de la noche a la mañana sin hacer nada.

  13. 15 marzo, 2013 en 12:15

    Ese razonamiento tampoco tiene mucho sentido, es como si yo quisiese invitar a cenar a Charlize Theron y me fuera a vivir a Los Ángeles porque en Sevilla la probabilidad de cruzarme con ella es cero.

  14. Sergei
    15 marzo, 2013 en 12:40

    Javi Oribe :
    Ese razonamiento tampoco tiene mucho sentido, es como si yo quisiese invitar a cenar a Charlize Theron y me fuera a vivir a Los Ángeles porque en Sevilla la probabilidad de cruzarme con ella es cero.

    Pregúntale si es amiga de Rosario Dawson, y si eso organizas una cena a cuatro.

    Está claro que lo de los sorteos es algo digno de estudio. Ante una serie de problemas económicos, se pueden colocar en un pedestal como la gran solución. No en vano, en épocas de crisis suele aumentar el gasto en juegos de azar (Imagino que con un punto de inflexión donde ya la necesidad empiece a convertirlos en un lujo).

    Lo de los números cercanos y la falsa esperanza de estar cerca del premio tiene su mayor exponente en la figura del reintegro. Una probabilidad aceptable de conseguirlo una vez, crear una falsa sensación de que es fácil que toque algo (no te ha tocado nada en realidad, simplemente no has perdido), y conseguir embolsarse el 90% de los cupones que se cambian por uno nuevo.

  15. Masklin
    15 marzo, 2013 en 12:45

    Es que no es razonamiento… es desesperación. Si estás desesperado por Charlize Theron, te vas a nueva york 😉 Aún así, las probabilidades de cruzarte con ella son mucho mayores.

  16. 15 marzo, 2013 en 13:35

    Masklin En realidad no sé dónde vive ahora, últimamente hemos perdido un poco el contacto 😎

    Sergei En efecto lo de los reintegros es un ejemplo muy bueno. También recuerdo que siendo un chaval echaba quinielas y la mayoría de las semanas me quedaba a un acierto del premio más bajo, evidentemente tampoco creo que estuviera escogido así por azar.

  17. 15 marzo, 2013 en 13:40

    Para ponerlo en perspectiva, la probabilidad de 1 : 2.118.760 de ganar en este juego equivale aproximadamente a la probabilidad de lanzar 21 monedas al aire y que en todas salga cara.

  18. 15 marzo, 2013 en 13:52

    Tienes razón, si no estoy equivocado esa probabilidad es 1:2^21=1:2097152

    Buen ejemplo.

  19. Lucien
    16 marzo, 2013 en 1:40

    Che, con esta actitud no sé como pudisteis ser el espermatozoide ganador… “para qué vamos a correr si solo hay una posibilidad entre 40 millones de que acabemos catando óvulo” xD

  20. 22 marzo, 2013 en 13:41

    Yo no soy “anumérico” (al menos no del todo, jeje), pero procuro jugar todas las semanas siguiendo este razonamiento:
    Si no me tocase ningún premio ninguna vez (raro es que en un año no te toque algún reintegro o algún premio menor) me gastaría, en toda la vida: 4€/semana * 52 semanas/año * 50 años = 10 400€
    Pero si me toca, no ya el gordo, si no algún premio importante, esa cantidad sería sobrepasada con creces.
    Me compensa. Sobre todo por dejar volar la imaginación, por la ilusión de planificar lo que haría y lo que dejaría de hacer.

  21. 22 marzo, 2013 en 14:40

    Curioso tu planteamiento, desde luego. Todo es cuestión del precio que le ponga cada uno a esos 50 años de ilusión.

  22. yo
    30 marzo, 2013 en 1:53

    El bote de esta noche de 130 millones (que al final han sido 132,48 millones de euros) ha tocado en Francia, lo acabo de leer en elmundo.es
    Ojala lo disfrute el que tenga el billete, resguardo o como lo queramos llamar y que consiga ser feliz pudiendo hacer tantas cosas y dejar de hacer otras tantas. Si me hubiera tocado a mi, sin ninguna duda, sería voluntario a tiempo parcial.

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