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Las matemáticas como disputa

12 junio, 2013

mates

Autor: Darío

Para la mayoría de las personas, las matemáticas fueron, y siguen siendo, un conocimiento árido, aburrido y doctrinario en donde las fórmulas (como proceso ya terminado), los métodos (como explicación nunca cabalmente entendida) y los resultados (como algo totalmente ajeno a la experiencia inmediata) daban pie a una sensación que oscilaba entre el fastidio y la incredulidad pasando por la perplejidad generada por algo que jamás se entendió para qué servía como no fuera para cumplir con los requisitos académicos de turno. Incluso cuando en algunas ocasiones se enfocaba el interés profesional al estudio de los trabajos que implican cierto conocimiento matemático (las ingenierías en sus diversas áreas, la economía, ciertas partes de las ciencias biomédicas y algunas de las ciencias sociales), dicho conocimiento no era (es) más que una aplicación muy secundaria, algo a lo que sí se puede se le da vuelta y si se evita pues mucho mejor. Difícilmente se remonta esta visión deficiente y parcializada del conocimiento matemático, y como bien sabemos las causas de la existencia de esta parcialización son muchas: desinterés social, malos métodos pedagógicos, incapacidad de los especialistas para motivar el estudio. En resumen, como en todo el conocimiento científico que merezca tal nombre, la descomposición social y el aumento del fanatismo va contra un conocimiento racional de lo que como humanos más nos interesa.

Por todo lo anterior, quizás para muchos suena raro que se pueda encontrar un texto en donde las disputas por las diferentes posiciones matemáticas se dan entre cinismos, dudas, debates enconados, ironías de diversos calibres. Pero seguramente que para más de uno que ha seguido hasta aquí el escrito le dará mucha sorpresa saber que las posturas sobre lo que son las matemáticas o lo que no son, pueden ser asociadas en cuatro visiones o escuelas o tendencias: el logicismo, el intuicionismo, el formalismo y la teoría de conjuntos, y que cada una de estas tendencias ha aportado de una manera u otra solidez a lo que ahora conocemos como conocimiento matemático, los que de alguna manera u otra nos dedicamos a ellas. También seguramente le interesará saber a más de un lector que aquello que ciertas posiciones esotéricas de izquierda o formalismos filosóficos mal entendidos con respecto a las ciencias matemáticas que hablan de un “límite” con respecto al conocimiento matemático en particular y al conocimiento en general debido a la existencia de los trabajos de un tal Gödel, están totalmente desencaminados porque, en primera, no es cierto que Gödel dijo que no podíamos conocer con certidumbre sobre los fenómenos que nos interesan sino que hay ciertas áreas y formas del conocimiento matemático y lógico sobre los cuales no podemos tener una certidumbre absoluta so pena de caer en contradicciones y, en segunda, no fue con Gödel la primera vez que el conocimiento matemático se enfrentó a situaciones “límite” que parecían poner en duda el trabajo y el valor de los conocimientos matemáticos, tanto heredados como los que se hacían en un momento histórico determinado: el formalismo contra la libertad de expresión que llevó a matemáticos de renombre como Euler a lo que ahora son considerados sinsentidos, el problema de los infinitos (que no solamente se dieron con Cantor sino en la manera en que estos fueron tomados en el análisis matemático que se empezó a construir con Liebnitz y Newton), el problema de euclidiano de las paralelas (el famoso Quinto Axioma) cuya negación dio origen a diferentes geometrías que en su momento fueron consideradas extremadamente problemáticas simplemente porque su existencia negaba totalmente el principio que hasta mediados del siglo XIX se consideraba inviolable acerca de que las matemáticas eran una comprensión de “nuestra realidad”: ¿cómo sería esto posible si tenemos que admitir que existen diferentes tipos de “geometrías” tan válidas como la que pensábamos que era “única” (la euclidiana) y tan consistentes como esta última? En suma: ¿cuál es la validez de nuestro análisis, de nuestra lógica, de nuestro pensamiento, de nuestra comprensión del mundo? Estas preguntas, por increíble que parezcan, llevamos haciéndolas desde que empezamos a trabajar lo que llamamos ahora la ciencia moderna, y las matemáticas están entre ellas.

Bien visto, llevamos cuatrocientos años de conocimiento racional al que llamamos ciencias, entre ellas al de las matemáticas, y en esos 400 años hemos visto y enfrentado dudas y crisis que parecían augurar el fin de ese conocimiento racional.

De estas cosas y las relativas soluciones que se han dado a esas y más preguntas es lo que trata el muy interesante libro de Morris Kline: “Matemáticas. La pérdida de la certidumbre”, en el que en 444 páginas, en su edición en español, el autor desentraña crisis y más crisis que se fueron generando en el conocimiento que ahora llamamos matemáticas, pero también las respuestas, parciales y temporales las más de las veces, que los hombres dedicados a la investigación matemática han dado. Ciertamente, muchas dudas quedan sin resolver, otras ya se han resuelto pero no son sencillas (el autor escribió su texto en 1980, en el ínter hasta nuestros días el teorema de Fermat ha sido resuelto, la conjetura de Goldbach al menos en su parte “suave” va por buen camino de solución) y quedan muchos problemas que, como los famosos “Problemas del Milenio” darán a quienes los resuelvan, aparte de prestigio inmensurable en las matemáticas y con los matemáticos, un millón de dólares por parte del Instituto Clay de los Estados Unidos, que es uno de los grandes impulsores del conocimiento matemático. Como sea: leer el libro de M. Kline es darse cuenta de que, a diferencia de los malos recuerdos de nuestra infancia y juventud, esta disciplina es algo vivo, fuerte: nada de lo que actualmente gozamos, usamos y vivimos está fuera del conocimiento matemático real, y conocer sus orígenes, sus limitaciones, sus promesas incumplidas, sus promesas hechas, sus fortalezas, es la mejor manera de saber en dónde estamos parados y cuáles son los daños a los que todos nos enfrentamos y padecemos cuando una mala comprensión de las matemáticas dan pie incluso a verdaderas injusticias. Hace unas semanas “The New York Times” publicó un reportaje sobre una sentencia absurda tomada con base en el desconocimiento matemático de juez, abogados y jurados (lo vamos a tratar en un artículo posterior). Y si el libro algo tiene, a pesar de su tamaño, es de presentar sus temas de manera amena y profunda, todo sustentado con una amplia bibliografía, y sin negar las simpatías obvias del autor por un cierto intuicionismo, aunque tampoco pretende ocultar sus graves limitaciones: si bien el formalismo recibió un duro golpe con los trabajos de Gödel, si se pretendiera aplicar el intuicionismo con toda su fuerza, al menos el 80% de toda la matemática que conocemos actualmente, con todo y sus grandes teoremas, tendría que ser desechado, y como que esto es simplemente imposible de digerir, incluso para los intuicionistas más duros. Y ni que decir de la teoría de conjuntos y sus ya conocidas limitaciones que vienen desde que Cantor trabajó en sus infinitos y Russell empezó a hacer famosas las paradojas: la manera en que la teoría resuelve las paradojas tratando de diferenciar entre clases y conjuntos no deja para muchos matemáticos de parecer al menos muy artificiosa y cuestionable. Y, finalmente, ¿la matemática es heredera de la lógica o al revés? Junten un lógico y un matemático en una discusión filosófica sobre cuál de las disciplinas absorbe a la otra y tendrán una discusión tan ácida y tan ruda (dependiendo de la situación y de la habilidad de los ponentes) como las que de pronto se ven entre los que trabajan con la Teoría Sintética de la evolución y los defensores de la pseudociencia llamada “diseño inteligente”, con la diferencia de que en el primero si hay gente que sabe de lo que habla en ambos bandos.

Y ni que decir de otro debate acerca de si se puede hablar de una “matemática pura” y una “matemática aplicada”, o como Kline (siguiendo a von Newmann) escribe en su libro: el debate entre una matemática “exterior, real” que se involucra directamente con los problemas de la ciencia en sus diversas áreas (en el cual Kline toma partido a su favor), y una matemática “interior, ¿menos real?” que no trabaja más que en los problemas que dan pie a su formalismo interno. O dicho en otras palabras: ¿es menos real la matemática aplicada a darle un sustento más fuerte a, digamos, la Teoría Sintética de la evolución que la matemática que se hace en topología simpléctica o en álgebra topológica? Yo no lo veo así, pero este es un debate que resurge de tanto en tanto con fuerza, y es frecuente escuchar en estudiantes (y en algunos maestros) que su área de topología “es más matemática” que el área de los ingenieros, por ejemplo, o que la de los actuarios.

Como sea, todos estos debates y otros más hacen de las ciencias matemáticas algo vivo, real. Leer el libro de Morris Kline (que es de lectura fácil, pero no simple) puede que a más de uno le haga sentir el deseo de entender que hay detrás de todo eso que llegamos, en algún momento, a considerar estático. Y también podría ayudar a entender que el teorema de Gödel (a partir de la página 315 y hasta la 335 vale la pena leer sobre esto para no decir tonterías sobre el teorema o sobre la existencia de los números de Gödel, o sobre los problemas del teorema de desición o el teorema de Banach-Tarski y el análisis no estándar), por poner el caso, no significa límite ni ninguna caída de la razón o tonterías por el estilo, ya que sería tanto como decir que la existencia de la raíz cuadrada de dos significó un límite o caída de la razón en la época de la Grecia clásica. La razón y las matemáticas son más sutiles y profundas que esas simplificaciones pseudofilosóficas, y el libro puede dar una idea de por dónde empezar a salir de estas. Llevamos 400 años de preguntarnos los límites y el por qué de sus existencia, pero tenemos mucho menos de preguntarnos el por qué las matemáticas si funcionan sobre todo en conjunción con el conocimiento físico, aunque no solo. Quizás, y solo quizás, responder esta pregunta nos lleve más lejos que el tratar de entender por qué estamos limitados. Nuestros antepasados hasta hace no mucho sobrevivieron bárbaramente sin la existencia de las matemáticas (ni de la medicina, la filosofía, la psicología y todo lo que ahora es familiar a nosotros) pero nosotros y los que nos seguirán, no podemos darnos el lujo de prescindir de ellas, a menos que queramos regresar a aquella situación que como bien escribió un excelente divulgador, el pasado era una mierda

Morris Kline: “Matemáticas. La pérdida de la certidumbre”. Siglo XXI Editores. México, 1985. 444pp.


  1. 12 junio, 2013 en 8:47

    Las matemáticas son unicamente una herramienta del pensamiento, haciendo uso de la cita de cabeza de esta web, no podemos convertila en una fe.

    Y esto está pasando porque se ha creado una religión económica.

  2. Francesc
    12 junio, 2013 en 9:16

    Perdón, busgonoso, ¿podrías aclarar la relación entre ambos puntos? Las matemáticas son una buena herramienta pero intenta darle una calculadora a un mono… (espero que ningún economista se sienta ofendido 😛 )

  3. 12 junio, 2013 en 9:31

    Muy interesante Darío, apunto el título a la lista de “libros pendientes”.

  4. Amarok
    12 junio, 2013 en 10:05

    Un gran artículo. Ha conseguido que tenga un enorme interés por leer ese libro.

  5. 12 junio, 2013 en 11:32

    Francesc
    La definición de elementos y la valoración sobre ellos

  6. 12 junio, 2013 en 14:09

    @Francesc, no esperes tener un dialogo coherente con busgosu. En otro blog todavia dudamos de que sea un programa de mezclar palabras aleatoriamente.

  7. Francesc
    12 junio, 2013 en 14:37

    No pasó el test de turing?

  8. luchogonzales
    12 junio, 2013 en 16:57

    “Ciertamente, muchas dudas quedan sin resolver, otras ya se han resuelto pero no son sencillas (el autor escribió su texto en 1980, en el ínter hasta nuestros días el teorema de Fermat ha sido resuelto, la conjetura de Goldbach al menos en su parte “suave” va por buen camino de solución)…”
    Yo sabía que la conjetura debil de Goldbach se había dado por resuelta en el 2013, aunque supongo que la demostración sigue siendo objeto de análisis por el gremio de matemáticos.
    Igual queda como libro pendiente.

  9. 12 junio, 2013 en 17:21

    Francesc :
    No pasó el test de turing?

    Falló miserablemente XDDD

  10. Darío
    12 junio, 2013 en 17:56

    Yo sabía que la conjetura debil de Goldbach se había dado por resuelta en el 2013, aunque supongo que la demostración sigue siendo objeto de análisis por el gremio de matemáticos

    Exacto. El texto de la demostración de la conjetura débil o conjetura ternaria de Golbach tiene mas de 100 hojas, y la idea parece estar bien trabajada, a juicio de los que tienen los conocimientos adecuados para valorarla. Si quieren mas sobre el asunto, incluyendo acceso al documento de la demostración, vean http://francisthemulenews.wordpress.com/2013/05/26/francis-en-eureka-demostrada-la-conjetura-debil-de-goldbach/ A mi me fascina la idea de estar asistiendo a las demostraciones y soluciones de algunos de los grandes problemas matemáticos: El Teorema de Fermat y la conjetura de Golbach. Y que el matemático que hizo la demostración sea de Perú es algo que me parece también resaltable, ya que es la prueba de que buena ciencia se puede hacer por cualquiera que lo desee teniendo las condiciones mínimas. En Perú, Mèxico, España y América Latina hay buenas escuelas y matemáticos de alto nivel.

    Y me alegra que la reseña del texto anime la lectura del libro y el trabajo de este autor. Seguro que me animaré a hacer la reseña de sus otros dos libros que me parecen fabulosos: “Mathematics for nonmathematician” y “Mathematics and the search for knowledge”. Para quienes desean encontrar mejores formas de enseñanza de esta área del conocimiento y para quienes están interesados en el papel de las ciencias matemáticas en el desarrollo de nuestras sociedades, estos textos me parece que son de referencia obligada. Saludos.

  11. 12 junio, 2013 en 22:47

    Hola Javi
    Acaso no has cumplido con: la definición de elementos y la valoración sobre ellos; en tu comentario dirigido a mí.

    En cuanto a los números primos sólo sirven para números enteros, cabe preguntarse si en la naturaleza hay enteros, o sólo es un asenso matemático sin conciencia de éste.

    ¿Alguien puede definir una unidad sin caer en conjeturas que llevan implícitas el asenso de unidad?

    Esto es como el teorema de incompletud pero llevado a la base elemental, al postulado principal no postulado, no tratando conjuntos de esta base elemental como teoría de primer orden.

  12. Darío
    13 junio, 2013 en 4:17

    ¿De verdad no pasó Turing o es una broma rara 😛 ?

  13. 13 junio, 2013 en 7:43

    ¿Habéis probado a pasarle el Voight Kampff? Lo mismo esun replicante 😉

  14. Masklin
    13 junio, 2013 en 8:02

    Buen artículo, Darío. Has conseguido despertar mi curiosidad para leerlo…

  15. 13 junio, 2013 en 9:07

    Una solución a la cuestión que planté: Definir una unidad sin caer en conjeturas que llevan implícitas el asenso de unidad.
    Es esta:

    Se observa el cuerpo de una unidad sin que esté constituida de conjeturas que parten del concepto unidad.

    ¿tenéis alguna discrepancia?

    Haré caso omiso a críticas afirmadas sin contener el desarrollo de una explicación

  16. busgonoso
    13 junio, 2013 en 9:21

    La falsedad y la certeza no están contenidas en el enunciado de un problema matemático sino que se extraen de la constitución del escenario matemático.

  17. Francesc
    13 junio, 2013 en 9:35

    El enlace es un cuadro con el color degradado estilo ppt, burgonoso. Revisa tu interfaz, estoy seguro de que intentas comunicarnos algo pero a este lado sólo recibimos ruido.

    “cabe preguntarse si en la naturaleza hay entero” Los humanos consideramos cada individuo como una unidad, no tenemos mente colmena.

  18. 13 junio, 2013 en 11:36

    Francesc
    Intento mostrar que es una unidad en su esencia no fundamentada en la división, la equivalencia, la diferenciación estableciendo fronteras, y todos los enunciados lógicos armados desde la condición previa del concepto de unidad.

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