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Magnitudes y percepción

18 julio, 2014

magnitudesSi imagináramos una cadena humana en la que participaran todos los habitantes del planeta, esta sería de tal magnitud que cubriría casi treinta veces la distancia de la Tierra a la Luna.

Supongo que este dato les choca poco a los lectores, pues somos conscientes del ingente número de seres humanos que poblamos nuestro mundo.

Sin embargo, si les dijera que concentrando a toda la humanidad de tal manera que cada uno de nosotros estuviera a metro y medio de sus vecinos más próximos, cabríamos perfectamente en la provincia de Cuenca, quizás la sorpresa fuera algo mayor.

Lo único que hemos hecho ha sido pasar desde un estado lineal en una dimensión (la cadena humana) a un estado en dos dimensiones (superficie de Cuenca). Resulta sorprendente cómo cambia totalmente nuestra percepción de la magnitud, en este caso lo que ocupa la humanidad, añadiendo simplemente una dimensión extra.

Realizando la transformación contraria también nos podemos llevar grandes sorpresas. Pensemos por ejemplo en el ADN de nuestras células. Este material genético, cuya estructura principal es una doble cadena de nucleótidos, se encuentra empaquetado en el núcleo celular, una estructura tan pequeña que no puede ser vista sin utilizar un microscopio, dado que su tamaño medio en los mamíferos es de 6 micrómetros (6 milésimas de milímetro).

Pues bien, si desenrolláramos todo el ADN contenido en los cromosomas de los aproximadamente 50 billones de células que forman nuestro organismo, obtendríamos un filamento de 115.000.000.000.000 metros, nada menos que ¡115 mil millones de kilómetros!, más de 19 veces la distancia hasta Plutón. Y eso con una sola persona.

Al considerar una tercera dimensión, el asunto se pone todavía más interesante: imaginemos todos los océanos de la Tierra, con sus 361 millones de km² de superficie (donde, por cierto, cabrían nada menos que 23.000 humanidades nadando a metro y medio una persona de otra) y sus 3,9 km de profundidad media. Pues bien, si reuniéramos todo esa agua y le sumáramos la de los glaciares, lagos, ríos y nubes, tendríamos unos 1.500 millones de kilómetros cúbicos, lo que supondrían unas pelotitas como estas:

worldsfreshwater

 

Nuestra forma de mirar las cosas

Curiosas transformaciones como las descritas hay a centenares, y se deben a que el ser humano tiene una forma muy peculiar de percibir las magnitudes, fruto de su adaptación al medio a lo largo de millones de años de evolución.

Como cazadores-recolectores, nos servía de poco calcular la distancia de Madrid a Noruega, pero resultaba muy útil estimar los 50 metros que nos separaban de un león plácidamente tumbado en lotananza. De igual manera, formar una imagen mental de una superficie equivalente al continente africano no resultaba en absoluto útil a nuestros ancestros de la sabana (ni a los más antiguos antepasados arborícolas); por el contrario, la estimación de superficies más pequeñas, como un prado que atravesar al descubierto, sería muy rentable. Lo mismo ocurre con el resto de magnitudes, sea un número de objetos, peso, etc.

Esta limitación la arrastramos hasta nuestros días, y nos enfrentamos a ella a diario. ¿Cuántas veces hemos sido incapaces de comprender la cantidad real de dinero que representan siete mil millones de euros o los 255.000 billones de kilómetros que nos separan del centro galáctico? Sin embargo, seguimos siendo muy capaces de estimar el número de manzanas que hay en una caja de fruta o la distancia hasta el próximo bar.

 

Tan grande como tres campos de fútbol

En numerosas ocasiones, recurrimos a la comparación con distancias, superficies o volúmenes conocidos para hacernos una mejor idea de ciertas magnitudes.

Así, es frecuente utilizar campos de fútbol para dar una idea de tamaño o pisos de diez plantas para hacernos la idea de algunas alturas.

Pongamos un último ejemplo tradicionalmente utilizado para  ilustrar la utilidad de esta comprensión diferencial de las cantidades, y que nos demuestra como tenemos estructurado el cerebro para evaluar magnitudes en pleno siglo XXI.

teImaginemos que nos proponen transportar mil millones de guisantes desde Almería a Madrid. A priori, salvo que seamos productores hortícolas experimentados, ni siquiera sabemos si tal empresa es posible y, en caso de que lo fuera, si resultaría rentable. Realmente, no tenemos ni idea de cuánto ocupan mil millones de guisantes.

Nuestro cliente podría ayudarnos diciendo que tenemos que transportar una fila de guisantes de 5.000 kilómetros de longitud o, lo que es lo mismo, poco menos que la distancia entre Madrid y Nueva York. Aunque esto nos dé una idea algo más aproximada que la mera cantidad, aún nos costaría bastante calcular siquiera la posibilidad o imposibilidad manifiesta del transporte.

Indignado con nuestra ignorancia, nuestro interlocutor nos dice que es una superficie equivalente a tres campos de fútbol llenos de guisantes. Indudablemente, hemos mejorado. Esto, al menos, nos da una idea clara: la empresa no es imposible pero, ¿Cuánto costaría?

Para poder estimarlo sin hacer demasiados cálculos, bastaría añadir una tercera dimensión. En un derroche de compasión, el horticultor nos revela que, amontonándolos, los mil millones de guisantes formarían un cubo de cinco metros de lado, es decir, un volumen similar al que ocupan diez turismos.

Con este último dato ya podemos evaluar, aunque sea “a ojo” la situación: nos harían falta apenas dos camiones para realizar el anhelado transporte, con lo que no solo resulta abordable, sino que podríamos avanzar un presupuesto aproximado.

De todas formas, cuidado con las aproximaciones rápidas. Podríamos caer en el error de estimar los camiones necesarios para mil millones de cerezas comparándolas con los guisantes. Si, tirando por lo alto, estimamos que una cereza será como diez o quince guisantes, resulta sencillo extrapolar que necesitaríamos de veinte a treinta camiones para realizar el transporte.

Gran error, y la quiebra para nuestra empresa: no podríamos transportarlos con menos de 120 camiones. Y es que, los errores, también se multiplican exponencialmente al aumentar las dimensiones.

Nota: los cálculos empleados en el presente artículo son muy aproximados y no representan la realidad. En ellos se ha supuesta la misma medida estándar para todas las piezas de fruta (0,5 cm de diámetro para los guisantes y 2 cm para las  cerezas), y se ha ignorado la necesidad de cajas o cualquier otro medio de embalaje, suponiendo que la distribución de las piezas es uniforme.

 

Bonus track:


  1. 18 julio, 2014 en 7:09

    Yo todavía estoy pensando en lo de Cuenca… 🙂

    Muy interesante, saludos.

  2. Abraham
    18 julio, 2014 en 10:48

    Muy buena exposición. Me recordó una clase de análisis dimensional.

  3. Albireo
    18 julio, 2014 en 11:10

    J.M. Encantado de volver a leerte. Curioso y ameno arículo.

    PD: el volumen de agua de la Tierra serán 1.500 millones de ¿kilómetros o metros cúbicos? (yo creo que kilómetros)

  4. J.M.
    18 julio, 2014 en 12:11

    Hola, el placer es mío!!

    Gracias Albireo, efectivamente, son kilómetros cúbicos, corregido.

    Saludos.

  5. KC
    18 julio, 2014 en 13:43

    Has tocado una tecla clave, JM: el espacio. Ahora atrévete con el tiempo y seguro que entendemos por qué los de mente cerrada y boca abierta no pueden hacerse una idea que no sea la “elegida”.

    Saludos.

  6. KC
    18 julio, 2014 en 13:46

    http://www.huffingtonpost.es/2014/05/07/humanos-gran-canon_n_5280760.html

    Oye, empiezo a ser capaz de encontrar cosas entre mis marcadores 🙂

    Saludos.

  7. ppn
    18 julio, 2014 en 15:46

    He visto lo de Cuenca (y algún comentario al respecto).

    Me preocupa esa imagen. La he visto varias veces entre los de “pro-vida” para sus argumentos ‘anti-menos-gente-en-el-mundo’. Hay que distinguir muy bien que esto es un ejercicio academico. Todos cabemos de sobra en un espacio de 1.5 x 1.5 metros, pero el espacio que necesitamos es mucho mayor.
    Para cultivar todos los vegetales que comemos en un año se necesita mucho más
    Para alimentar la carne que comemos en un año, todavía mucho más.
    Para hacer crecer toda la energía que consumimos en un año… se necesita muchísimo mas…

    Es un debate muy interesante que se ha planteado poco.

  8. J.M.
    18 julio, 2014 en 19:14

    Y sin ir tan lejos, ppn. Dudo mucho de que, si consiguiéramos reunir a toda la humanidad en Cuenca, pudiéramos obtener todo el oxígeno necesario para respirar pasados unos minutos…

    KC, jodío, no pides nada 😉 Genial el enlace, me permito ponerlo como bonus-track.

  9. Ever Flores
    18 julio, 2014 en 19:21

    Me preocupa esa imagen. La he visto varias veces entre los de “pro-vida” para sus argumentos ‘anti-menos-gente-en-el-mundo’. Hay que distinguir muy bien que esto es un ejercicio academico. Todos cabemos de sobra en un espacio de 1.5 x 1.5 metros, pero el espacio que necesitamos es mucho mayor

    Pues ese es un tema que muchas veces me dejó sin dormir. Crecemos a un ritmo de mil mllones aprox. cada 50 años. En dos siglos seremos 11.000.000.000 de seres humanos. Y si lo alargamos en el tiempo aún más.
    La sobrepoblación es una de las principales causas de extinción, y estamos cada vez más cerca de ella.

  10. 19 julio, 2014 en 20:00

    Una forma curiosa de medir el universo, mediante el número de veces que se puede doblar una hoja de papel. ¿Cuántas pensáis que se puede doblar? ¿cuántas veces lo debéis hacer para llegar a la Luna? Igual no son tantas: http://es.gizmodo.com/si-doblas-un-papel-103-veces-sera-mas-grueso-que-el-un-1607710056

  11. Santiago
    20 julio, 2014 en 3:28

    No hace mucho me preguntaba: ¿Cuánto debería pesar la miniatura a escala 1/18 de un coche de 1.500kgs si de manera “ideal” (en plan ciencia ficción) se pudiera escalar el modelo al detalle y con los mismos materiales? Mi primer pensamiento fue dividir 1.500/18, pero el resultado me pareció desorbitado. ¿Quizás tendría que pesar 1500/18³=0.257, es decir, 257grs, ya que el volumen de un objeto está marcado por tres dimensiones?

    Imaginemos que tenemos un dado de 1x1x1 centímetros, del material que sea, con un peso de 5 gramos. ¿Cuánto pesaría un dado del mismo material, pero de 2x2x2 centímetros? Si junto ocho dados iguales, disponiéndolos de manera que parezcan un cubo de 2x2x2 cms, el conjunto pesaría 8×5= 20 gramos. Así:

    1cm³ (1 dado x 5grs) = 5 gramos
    2cm³ (8 dados x 5 grs) = 40 gramos
    4cm³ (64 dados x 5 grs) = 320 gramos
    5cm³ (125 dados x 5 grs) = 625 gramos

    18cm³ (5832 dados x 5 grs) = 29160 gramos, casi 30 kgs !!!

    Si en vez de calcular el peso del coche a escala 1/18 a partir de un coche real de 1500kgs calculase el peso del dado a escala 1/18 partiendo de un cubo que pese 29,160 kgs, la fórmula sería 29160/18³= 5 grs.

    ¿Alguien de ciencias puede corroborar mi razonamiento?

  12. J.M.
    20 julio, 2014 en 11:46

    Santiago, aunque el resultado final es correcto, hay un pequeño error en tu razonamiento. Creo que es problema de mezclar volumen y longitud. Me explico:

    1 dado de 1 cm3 ocupa un volumen de 1 x 1 x 1 cm
    2 dados de 1 cm3 ocupan un volumen de 2 x 1 x1 cm, y corresponden exactamente a 2 cm3.
    1 dado de 18 cm3 ocupa un volumen de 2 x 3 x 3 cm (por ejemplo) y corresponde a 18 dados de los primeros.

    Por lo tanto, si no salimos del volumen, la equivalencia se mantiene: 4cm3 = 2 x 2cm3 o, lo que es lo mismo: un dado de 4cm3 = 2 dados de 2cm3 = 4 dados 1cm3.

    Por lo tanto, el peso es el equivalente: un dado de 1cm3 pesa exactamente la quinta parte que otro de 5 cm3 (suponiendo, obviamente, el mismo material), dado que el de 5cm3 está formado por 5 dados de 1cm3.

    Así pues, si el dado de 1cm3 pesa 5 gramos, el de 5 cm3 pesará 25 gramos (5 x 5).

    Ahora bien, cuando calculas la escala de 1:18, ahí aplicas correctamente la fórmula, porque estás reduciendo longitud del lado, no peso o número de dados.

    Un dado a una escala de 1:18 quiere decir que todas las medidas son 1:18 de la original; pero ojo: las distancias (alto, ancho y profundidad) no la superficie o el volumen.

    Así pues, si tenemos un dado de 18 cm3, una escala a 1:18 no representa un dado de 1cm3, sino uno con 1/18 de lado. Como hay 3 dimentsiones, aquí sí tienes que aplicar la fórmula de x/183

    Veámoslo con un ejemplo:

    Supongamos que tenemos un dado de 18cm de lado. Su volumen sería 18 x 18 x 18 = 5832 cm3, es decir, lo mismo que si tuviéramos 5.832 dados de 1cm3.

    Si quisiéramos construir un modelo a escala 1:18, no tendríamos que dividir los 5832 cm3 entre 18, sino cada una de las medidas de sus lados: 18/18 x 18/18 x 18/18, es decir: 1 x 1 x 1 = 1 cm3. Dicho de otra forma: un modelo a escala 1:18 de un dado de 5.832 cm3 tiene un volumen de 1cm3 (producto de dividir entre 18 el alto, el ancho y la profundidad).

    Si queremos hacer el paso directo en lugar de reducir cada lado, por lo tanto, tenemos que considerar las tres dimensiones, y hacer 5832/(18 x 18 x 18), es decir: 5382/183 = 1cm3, que era tu fórmula.

    El error de tu razonamiento es que el cubo de 30 kg no tiene un volumen de 18cm3, sino 18 cm de lado, lo que da un volumen de 5832 cm3

    No se si me he explicado bien…

  13. Santiago
    20 julio, 2014 en 17:51

    (Ha habido un error con el comentario al darle a enviar, no sé si saldrá repetido)

    Hola, buenas tardes 🙂

    Tienes razón, aunque el error más que confundir área con longitud fue más bien un error de formato al ir con prisas, jejeje. La “tabla” que puse tendría que haber sido así:

    1cm de lado = 1cm³ (1 dado x 5grs) = 5 gramos
    2cm de lado = 8cm³ (8 dados x 5 grs) = 40 gramos
    4cm de lado = 64cm³ (64 dados x 5 grs) = 320 gramos
    5cm de lado = 125cm³ (125 dados x 5 grs) = 625 gramos

    18cm de lado = 5832cm³ (5832 dados x 5 grs) = 29160 gramos.

    Muchas gracias por la puntualización 🙂

  14. Eduard
    21 julio, 2014 en 10:18

    He planteado el problema de forma diferente, partiendo de un vehículo real. En concreto de un Renault laguna cuyo peso es de 1.461 Kg. (muy cercano a los 1500 propuestos). Las dimensiones del citado vehículo son: alto 144,5 cm, ancho 181,1 cm, largo 469,5 cm. Tomando como forma simplificada el ortoedro correspondiente a tales medidas, da un volumen de 12.286.322,03 cm cúbicos, por lo que podemos deducir una densidad de 0,118912 gr/cm3
    Si construyéramos el modelo ideal a escala (1/18), las dimensiones del mismo serían: alto 8,027 cm, ancho 10,061 cm, largo 26,083 cm. El volumen del ortoedro correspondiente sería de 2.106,7081 cm cúbicos, lo que, a la densidad calculada anteriormente, nos da un peso para la maqueta de 250,51 gr.
    La relación entre los dos pesos (1461000 gr / 250,51) nos da la cifra de 5832 = 18 elevado a 3

  15. 23 julio, 2014 en 19:05

    No os perdáis este viaje virtual a lo largo de nuestro sistema solar: http://www.bbc.co.uk/bbc.com/future/bespoke/20140304-how-big-is-space-interactive/index.html

  16. Blueoriol
    23 julio, 2014 en 20:07

    Me gustó el viaje por el sistema solar. Además termina con “Larga vida y prosperidad”.

  17. 25 julio, 2014 en 18:04

    Seguimos con los guisantes. Se estima que nuestra galaxia tiene 150 mil millones de estrellas. Si cada estrella tuviera el tamaño de un guisante, llenaríamos 300 camiones o más de 9 piscinas olímpicas. Sería bastante difícil encontrar el sol, incluso suponiendo que hubiéramos resuelto el problema de las distancias. Sin embargo desde este punto de vista parece más evidente la probabilidad de un planeta con vida.
    Por si esta número no marea bastante, hay que pensar en los 150 mil millones de galaxias del universo conocido, cada una con un número de estrellas más o menos similar a la nuestra. Por cada guisante, 9 piscinas olímpicas llenas de guisantes.

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